[2014년 덕이고]

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[1학년 1학기 중간]

[eqn: x ^{2`} -x+1=0]일 때, 다항식 [eqn: 2x ^{4} -2x ^{3} +3x ^{2} -x+3]의 값은? [5.7점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

등식 [eqn: a(x-1) ^{2}+b(x-1)+c=3x^2 -2x+1]이 [eqn: x]에 대한 항등식일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: abc]의 값은? [4.3점]

① [eqn: -8]	② [eqn: -6]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 48]

다항식 [eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} -5x+b]가 [eqn: x-2]와 [eqn: x+1]로 각각 나누어 떨어질 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a ^{2`}+b ^{2}]의 값은? [4.3점]

① [eqn: 40]	② [eqn: 34]	③ [eqn: 29]

④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 18]

[eqn: x^2 +x-n]이 자연수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: (x+a)(x-b)]의 꼴로 인수분해 되도록 하는 자연수 [eqn: n]의 개수는? (단, [eqn: 1 LEQ n LEQ 150]) [5.7점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

[eqn: alpha], [eqn: beta]가 복소수일 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: {bar{beta}}]는 [eqn: beta]의 켤레복소수이고, [eqn: i= sqrt { -1}]이다.) [6.3점]

ㄱ. [eqn: alpha^2 +beta^2 =0]이면 [eqn: alpha=0]이고 [eqn: beta=0]이다.

ㄴ. [eqn: alphabeta=0]이면 [eqn: alpha=0]이고 [eqn: beta=0]이다.

ㄷ. [eqn: alpha+betai=0]이면 [eqn: alpha=0]이고 [eqn: beta=0]이다.

ㄹ. [eqn: alpha=barbeta]이면 [eqn: alpha+beta], [eqn: alphabeta]는 모두 실수이다.

① ㄱ	② ㄹ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄹ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ

이차방정식 [eqn: x ^{2} +5x+1=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때,
[eqn: ( sqrt {alpha} - sqrt {beta} ) ^{2}]의 값은? [5.2점]

① [eqn: -7]	② [eqn: -3]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 7]

이차함수 [eqn: f(x)=ax ^{2} +bx+c]와 일차함수 [eqn: g(x)=mx+n]의 그래프가 그림과 같을 때 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [6.2점]

ㄱ. [eqn: beta gamma - alpha delta>0]이다.

ㄴ. 방정식 [eqn: f(-x)=0]의 두 근은 [eqn: -alpha]와 [eqn: -delta]이다.

ㄷ. 방정식 [eqn: f(-x)=g(x)]의 두 근의 곱과

[eqn: f(x)=g(x)]의 두 근의 곱은 같다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

실수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]가 [eqn: x+y+z=6], [eqn: xy+yz+zx=0]을 만족할 때, [eqn: z]의 값은? [6.5점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4over3]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 4over5]

연립방정식 [eqn: cases{ 2x^2 -3xy+y^2 =0 #x^2 -2xy+2y^2 =5] 의 해를 [eqn: x=alpha], [eqn: y=beta]라고 할 때, [eqn: |alpha |+ |beta |]의 최댓값은? [5.2점]

① [eqn: 2sqrt { 2}]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 2sqrt { 3}]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 2sqrt { 5}]

이차부등식 [eqn: x^2 +ax+b>0]의 해가 [eqn: x< -3] 또는 [eqn: x>2]일 때, 이차부등식 [eqn: x^2 -ax+b LEQ 0]을 만족시키는 모든 정수 [eqn: x]의 개수는? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 실수이다.) [6.0점]

① [eqn: 3개]	② [eqn: 4개]	③ [eqn: 5개]

④ [eqn: 6개]	⑤ [eqn: 7개]

삼차방정식 [eqn: x^3 -27=0]의 한 허근을 [eqn: alpha]라고 할 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: baralpha]는 [eqn: alpha]의 켤레복소수이다.) [6.4점]

ㄱ. [eqn: alpha^2 +3alpha=-9]

ㄴ. [eqn: alpha baralpha +alpha +baralpha =5]

ㄷ. [eqn: {(baralpha )^2} over {alpha^2 +9} = -1]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

부등식 [eqn: -x^2 +9+5x GEQ 3(x-2)>4(x-1)-x^2]의 해는? [6.2점]

① [eqn: -3<x LEQ-2] 또는 [eqn: 1 LEQx<5]

② [eqn: -3LEQx< -2] 또는 [eqn: 1<x LEQ 5]

③ [eqn: -3 LEQ x < -2] 또는 [eqn: 2<x LEQ 5]

④ [eqn: -3<x LEQ -1] 또는 [eqn: 2 LEQ x <5]

⑤ [eqn: -3 LE x < -1] 또는 [eqn: 2<x LE 5]

서술형

[eqn: a+b=3], [eqn: ab=-1], [eqn: x+y=1], [eqn: xy=-3]이고,
[eqn: m=ax+by], [eqn: n=bx+ay]이다. 다음 물음에 답하시오.
[총 8.0점]

(1) [eqn: a ^{2} +b ^{2}], [eqn: x ^{2} +y ^{2}]의 값을 구하시오. [2.0점]

(2) [eqn: mn]의 값을 구하시오. [3.0점]

(3) [eqn: m ^{3} +n ^{3}]의 값을 구하시오. [3.0점]

실수 계수를 갖는 [eqn: x]의 이차방정식 [eqn: x ^{2} +2kx+k^2 -2k-15=0]이 있다. 다음 물음에 답하시오. [총 9.0점]

(1) 한 근은 [eqn: 0]보다 크고, 다른 한 근은 [eqn: 0]보다

작을 때 [eqn: k]의 값의 범위를 구하시오. [2.0점]

(2) [eqn: 0 LE k LE 30]의 범위에서 두 근이 모두 정수가

되는 [eqn: k]의 값을 구하시오. [7.0점]

세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 다항식 [eqn: f(x)=x^3 +ax^2 -bx+c]는 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: a+b-c]의 값을 구하시오. (단, [eqn: i= sqrt { -1}]) [8.0점]

(가) [eqn: 1+i]는 삼차방정식 [eqn: f(x)]의 근이다.

(나) [eqn: f(x)]를 [eqn: x+1]로 나눈 나머지는 [eqn: 10]이다.

부등식 [eqn: |x |+ |x-3 | LE 5]의 해를 구하시오. [7.0점]

[2014년 덕이고]

[1학년 1학기 중간]

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